Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A² = |A|

Hướng dẫn giải:

Nhắc lại: $\sqrt{A}$ có nghĩa khi $A\ge 0$.

a) $\sqrt{\dfrac{a}{3}}$ có nghĩa khi:

$\dfrac{a}{3}\ge 0$ $\Rightarrow$ $a \ge 0$.

b) $\sqrt{-5a}$ có nghĩa khi:

$-5a \ge 0$ $\Rightarrow$ $a \le 0$.

c) $\sqrt{4 – a}$ có nghĩa khi:

$4-a \ge 0$ $\Rightarrow$ $a \le 4$.

d) $\sqrt{3a+7}$ có nghĩa khi:

$3a + 7 \ge 0$ $\Rightarrow$ $a \ge \dfrac{-7}{3}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{(0,1)^2}=|0,1|=0,1$.

b) $\sqrt{(-0,3)^2}=|-0,3|=0,3$.

c) $-\sqrt{(-1,3)^2}=-|-1,3|=-1,3$.

d) $-0,4\sqrt{(-0,4)^2}=-0,4|-0,4|=-0,4.0,4=-0,14$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$

(vì $2 - \sqrt{3} > 0$ do $2 = \sqrt{4}$ mà $\sqrt{4} > \sqrt{3}$ nên $2 >\sqrt{3}$).

b) $\sqrt{(3-\sqrt{11})^2}=|3-\sqrt{11}|=\sqrt{11}-3$

(vì $\sqrt{11} - 3 > 0$ do $3 = \sqrt{9}$ mà $\sqrt{11} > \sqrt{9}$ nên $\sqrt{11}>3$).

c) $2\sqrt{a^2} = 2|a| = 2a$ (do $a \ge 0$ nên $|a|=a$).

d) $\sqrt{(a-2)^2}=3|a-2|=3(2-a)$

(vì $a < 2$  $\Rightarrow$ $2-a>0$, do đó $|a-2|=2-a$).

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{x^2} = 7$ $\Rightarrow$ $|x| = 7$

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=-7\end{matrix}\right.\).

b) $\sqrt{x^2} = |-8|$ $\Rightarrow$ $|x|=8$

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=-8\end{matrix}\right.\).

c) $\sqrt{4x^2}=6$ $\Rightarrow$ $\sqrt{(2x)^2}=6$ $\Rightarrow$ $|2x|=6$

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=6\\2x=-6\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\).

d) $\sqrt{9x^2}=|-12|$ $\Rightarrow$ $\sqrt{(3x)^2}=12$ $\Rightarrow$ $|3x|=12$

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=12\\3x=-12\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=-4\end{matrix}\right.\).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$VT = (\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2- 2\sqrt{3} + 1$

        $= 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} = VP$

Vậy $(\sqrt{3} - 1)^2 = 4 - 2\sqrt{3}$ (đpcm)

b) Theo câu a) ta có:

$VT=\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}-\sqrt{3}$

        $= |\sqrt{3} - 1| - \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}$

        $= -1 = VP$ (vì $\sqrt{3} - 1 > 0$) (đpcm)

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{16}.\sqrt{25}+\sqrt{196}:\sqrt{49}$

$=\sqrt{4^2}.\sqrt{5^2}+\sqrt{14^2}:\sqrt{7^2}$

$= 4.5 + 14:7 = 20 + 2 = 22$.

b) $\sqrt{36}:\sqrt{2.3^2.18}-\sqrt{169}$

$=36:\sqrt{3^2.36}-\sqrt{13^2}$

$= 36:\sqrt{3^2.6^2}-13=36:\sqrt{18^2}-13$

$=36:18-13=2-13=-11$.

c) $\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{\sqrt{9^2}}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$.

d) $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=\sqrt{5^2}=5$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{2x + 7}$ có nghĩa khi:

$2x+7 \ge 0$ $\Rightarrow$ $x \ge \dfrac{-7}{2}$.

b) $\sqrt{-3x+4}$ có nghĩa khi:

$-3x + 4 \ge 0$ $\Rightarrow$ $x \le \dfrac{4}{3}$.

c) $\sqrt{\dfrac{1}{-1+x}}$ có nghĩa khi:

$\dfrac{1}{-1+x} \ge 0$ $\Rightarrow$ $-1+x>0$ $\Rightarrow$ $x>1$.

d) $\sqrt{1+x^2}$ có nghĩa khi: $1+x^2 \ge 0$

Mà $x^2\ge 0$ $\Rightarrow$ $x^2+1\ge 1 >0$ với mọi $x$.

Vậy $\sqrt{1+x^2}$ có nghĩa với mọi $x$.

Hướng dẫn giải:

a) $2\sqrt{a^2} - 5a$

$= 2|a|-5a$

$= -2a - 5a = -7a$ (do $a < 0$ nên $|a| = -a$).

b) $\sqrt{25a^2} + 3a$

$= 5|a| + 3a$

$= 5a + 3a = 8a$ (do $a \ge 0$ nên $|a| = a$).

c) $\sqrt{9a^4} + 3a^2$

$= \sqrt{(3a^2)^2} + 3a^2$

$= |3a^2| + 3a^2$ 

$= 3a^2 + 3a^2 = 6a^2$ (do $a^2 \ge 0$ với mọi a nên $|3a^2| = 3a^2$).

d) $5\sqrt{4a^6} - 3a^3$

$= 5\sqrt{(2a^3)^2} - 3a^3$

$= 5|2a^3| - 3a^3$

$=5.(-2a^3)-3a^3=-10a^3-3a^3=-13a^3$ (do $a < 0$ $\Rightarrow$ $2a^3<0$ nên $|2a^3| = – 2a^3$).

Hướng dẫn giải:

a) $x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2= (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$.

b) $x^2 - 6 = x^2 - (\sqrt{6})^2 = (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})$.

c) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3$

$= x^2 + 2x\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$

$= (x + \sqrt{3})^2$.

d) $x^2 - 2\sqrt{5}x + 5$

$=x^2 - 2x\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2$

$= (x - \sqrt{5})^2$.

Hướng dẫn giải:

a) $x^2-5=0$ $\Rightarrow$ $x^2=5$ \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{5}\\x=-\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có nghiệm $x=\sqrt{5}$ hoặc $x=-\sqrt{5}$.

b) $x^2-2\sqrt{11}x + 11 = 0$

$\Rightarrow$ $x^2-2x\sqrt{11}+(\sqrt{11})^2 = 0$

$\Rightarrow$ $(x-\sqrt{11})^2 = 0$

$\Rightarrow$ $x - \sqrt{11} = 0$ 

$\Rightarrow$ $x=\sqrt{11}$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\sqrt{11}$.

Hướng dẫn giải:

Sai lầm ở chỗ:

Sau khi lấy căn hai vế của $(m-V)^2 = (V-m)^2$ ta phải được kết quả $|m-V| = |V-m|$ chứ không thể có $m-V = V-m$ (theo hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$).

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.